久しぶりに数学に触れた。それも微分幾何学に触れた。
自分が大学院で学んだ幾何学はそんなに多いものではないのだから、限られた時間でも十分に復習できるはずだ。
復習することで、新たにまたセミナーなどで微分幾何学を学びやすくなるだろう。
テンソルについて。テンソルとは何かということから。当時のノートの結論はそれは自然の法則を記述できるものである、という結論だった。 座標不変だからだ。これは昨夜読んだグラスマンの本の記述に近く、勇気づけられる。創始者の言葉だからだ。
そして、幾何学的対象の規定。対象は主束と群の表現で決まる。関数解析を使いたいが、非線形であるとき難しい。線形近似や摂動を行うことになる。あるいは関数空間として扱えるものに拡張して考える。
上記の幾何構造の一番の典型がテンソル場。そこからセクションの値を変えて拡張する。
そして抽象接続論。いくつかの代数が定義される。非常にシンプルに接続が定義できる。超曲面のレビチビタ接続を定義することはいい練習問題。法ベクトルから水平方向が定まる。ここは現代幾何学の形式的な基礎の部分のまさに核といえる。
それから、ファイバー束の二つの見方、その上とみるか、その中とみるか、は微分幾何学において常に存在する意識。
参考
グラスマン、the new branch of mathematics
